The Project Gutenberg EBook of Ueber die Geometrie der alten Aegypter. by Emil Weyr This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at http://www.gutenberg.org/license Title: Ueber die Geometrie der alten Aegypter. Author: Emil Weyr Release Date: March 13, 2008 [Ebook #24817] Language: German Character set encoding: US-ASCII ***START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER DIE GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER.*** UeBER DIE GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER ------------------ VORTRAG GEHALTEN IN DER FEIERLICHEN SITZUNG DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN AM XXIX. MAI MDCCCLXXXIV VON DR. EMIL WEYR WIRKLICHEM MITGLIEDE DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. ------------------ WIEN AUS DER K. K. HOF- UND STAATSDRUCKEREI. IN COMMISSION BEI KARL GEROLD'S SOHN, BUCHHAeNDLER DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN. 1884 Moege mir gestattet sein, bei dem heutigen feierlichen Anlasse ein Bild zu entrollen, welches in grossen Strichen die allgemeinen Umrisse des Zustandes der geometrischen Wissenschaften bei den alten Aegyptern zur Darstellung bringen soll; und moege dasselbe Wohlwollen, das, gepaart mit einer althergebrachten Sitte, mich heute auf diesen eben so ehrenvollen als schwierigen Platz gestellt, auch bei der Beurtheilung der folgenden bescheidenen, weil schwachen Kraeften entspringenden Leistung obwalten! So wie der Anfang aller menschlichen Kenntnisse, so ist auch der Ursprung der Geometrie in grauestes Alterthum zu versetzen, er ist zu suchen in jenen der Zeit nach unangebbaren Perioden der menschlichen Entwicklung, in welchen das erste Erwachen des Selbstbewusstseins zu finden waere. Sind doch manche geometrische Anschauungen auch dem Thiere eigen; so jene der geraden Verbindungslinie zweier Punkte als der kuerzesten Entfernung; jene des Mehr und Weniger bei Quantitaeten der Entfernungen, Hoehen, Neigungen, und so werden auch manche abstractere Raumanschauungen dem Menschen in seinen ersten Entwicklungsperioden eigen geworden sein, Anschauungen, welche durch die Moeglichkeit und auf Grund der sprachlichen Bezeichnung jene Stabilitaet erhielten, die sie befaehigte, als erste Fundamente der geometrischen Kenntnisse zunaechst, und der Geometrie als Wissenschaft spaeter aufzutreten. Geometrisches Denken entstand zu den verschiedensten Zeiten, an den verschiedensten Orten. Denn ueberall, wo der menschliche Geist sich zu entwickeln begann, und das menschliche Denken jene Hoehe erreichte, auf welcher Abstractionen entstehen, bildeten sich die grundlegenden Raumbegriffe; der des Punktes, der geraden und krummen Linien, der ebenen und krummen Flaechen. Denn ueberall in der Natur boten sich dem erwachenden Menschen Repraesentanten dieser Begriffe in groesserer oder geringerer Genauigkeit dar. Waehrend der Anblick der auf- und untergehenden Sonne, sowie des vollen Mondes in suedlichen Gegenden fast taeglich das Bild der "vollkommensten", der "schoensten" Linie, der Kreislinie vorfuehrte, stellten sich die zahllosen Sterne des Abends dem Auge als glaenzende Punkte dar, welche in ihren mannigfaltigen gegenseitigen Lagenverhaeltnissen die Phantasie des Menschen bei der, von ihm beliebten Eintheilung des Himmels in Sternbilder zur Herstellung so mancher geraden und krummen Linien verleiten mochten. Und selbst in seiner naechsten Umgebung fand der beobachtende Mensch geometrische Anklaenge; das Gewebe der Spinne mit seinen kreisrunden und radialen Faeden, die sechseckige Bienenzelle, die beim Fallen eines Koerpers in ruhendes Wasser entstehenden concentrischen Wellenringe, und wie vieles Andere musste, wenn auch nach und nach, so doch mit zwingender Nothwendigkeit den Menschen zur Beobachtung gesetzmaessiger geometrischer Formen fuehren. Als Mutterland der Mathematik im Allgemeinen, und der Geometrie im Besonderen wird Aegypten angefuehrt; doch ist die Zeit laengst vorbei, wo man sich Aegypten als einzigen Ursprungsort dieser Wissenschaften dachte, vielmehr muss als feststehend angenommen werden, dass jedes Volk in seinem Entwicklungsgange geometrische Anschauungen sich anzueignen schon durch praktische Beduerfnisse gezwungen war. Die Hoehe, zu welcher sich die einzelnen Voelker in ihren mathematischen Speculationen emporzuschwingen vermochten, hing von der Richtung des Bildungsganges, von dem Maasse des Beduerfnisses und nicht in letzter Reihe von dem Einfluesse religioeser Verhaeltnisse ab. Und so mag sich zunaechst jene Naturgeometrie entwickelt haben, welche allen Voelkern zugesprochen werden muss, und auf deren Vorhandensein, weil auf die Anwendungen ihrer freilich einfachsten Principien, Ueberreste von Bauten ueberall dort hinweisen, wo wir in der Lage sind, solche beobachten zu koennen. Die Pellasger, die vorhellenischen Ureinwohner Griechenlands, mussten lange vor Entstehung der Philosophie geometrische Kenntnisse in dem Maasse besessen haben, wie sie zur Auffuehrung von Wasserbauten, Daemmen, Canaelen und Burgen, von denen man jetzt noch Spuren findet, nothwendig waren. Verfolgt man die Entwicklung der Geometrie zu ihren Quellen aufwaerts, so duerfen wir nicht ueberrascht sein, dass man bei dem uns bekannten aeltesten Culturvolke, bei den Aegyptern, am weitesten vorzudringen vermag, und zwar an der Hand der indirecten wie der directen Nachrichten, welche uns ueber diesen Gegenstand zugekommen sind. Leider jedoch sind die Ersteren ihrem Inhalte und die Letzteren ihrer Zahl nach nur spaerliche zu nennen. Zahlreich sind wohl die Stellen in griechischen Philosophen und Geschichtschreibern, welche Bezug haben auf aegyptische Geometrie, es laesst sich jedoch nicht verkennen, dass oft die Spaeteren auf Fruehere sich stuetzen, und wir es moeglicherweise mit einer einzigen, durch Jahrhunderte fortgefuehrten Nachricht zu thun haben. Durch *Herodot*, welcher um die Mitte des fuenften vorchristlichen Jahrhunderts (460) Aegypten bereiste, erfahren wir(1), dass die Geometrie von Aegypten nach Griechenland verpflanzt worden sei. Etwas spaeter (393 v. Chr.) berichtet *Isokrates* die Thatsache(2), dass die Aegypter "die Aelteren (unter ihren Priestern) ueber die wichtigsten Angelegenheiten setzten, dagegen die Juengeren beredeten, mit Hintansetzung des Vergnuegens, sich mit Astronomie, Rechenkunst und Geometrie zu beschaeftigen". In *Platon*'s _Phaedrus_ sagt *Sokrates*: "Ich habe vernommen, zu Naukratis in Aegypten sei einer der dortigen alten Goetter gewesen, dem auch der Vogel geheiligt ist, den sie Isis nennen, waehrend der Gott selbst den Namen Teuth fuehrt; dieser habe zuerst Zahlenlehre und Rechenkunst erfunden und Geometrie und Astronomie"(3), und einen directen Hinweis finden wir bei *Aristoteles*, welcher in seiner _Metaphysik_ sagt:(4) "Daher entstanden auch in Aegypten die mathematischen Wissenschaften, denn hier war den Priestern die dazu noethige Muesse vergoennt." Uebrigens schrieben sich die Aegypter neben der Erfindung der Buchstabenschrift auch jene der meisten Wissenschaften und Kuenste zu, worueber *Diodor*(5), welcher etwa 70 Jahre v. Chr. G. Aegypten bereiste, bemerkt: "Die Aegypter behaupten, von ihnen sei die Erfindung der Buchstabenschrift und die Beobachtung der Gestirne ausgegangen, ebenso seien von ihnen die Theoreme der Geometrie und die meisten Wissenschaften und Kuenste erfunden worden." Neben diesen ganz allgemein gehaltenen Angaben sind hauptsaechlich diejenigen Berichte zu erwaehnen, welche sich auf die Art der wissenschaftlichen Leistungen der Aegypter beziehen. Da sagt zunaechst *Herodot*(6) in Hinsicht auf die unter dem Koenige *Sesostris* durchgefuehrte Laendereintheilung: "Auch sagten sie, dass dieser Koenig das Land unter alle Aegypter so vertheilt habe, dass er jedem ein gleich grosses Viereck gegeben, und von diesem seine Einkuenfte bezogen habe, indem er eine jaehrlich zu entrichtende Steuer auflegte. Wem aber der Fluss (Nil) von seinem Theile etwas wegriss, der musste zu ihm kommen und das Geschehene anzeigen; er schickte dann die Aufseher, die auszumessen hatten, um wie viel das Landstueck kleiner geworden war, damit der Inhaber von dem uebrigen nach Verhaeltniss der aufgelegten Abgaben steure. Hieraus erscheint mir die Geometrie entstanden zu sein, die von da nach Hellas kam." Die, *Herodot*, dem Vater der Geschichtsschreibung folgenden Berichterstatter hielten sich nun, vielleicht erklaerlicherweise, vorzueglich an den einen, die Nilueberschwemmungen betreffenden Theil obiger Nachricht, und wurde, gewiss Unberechtigtermassen der Nil als der unmittelbare Anstoss fuer alle geometrischen Arbeiten der Aegypter hingestellt. Und doch scheint es uns viel naeherliegend, die einerseits behufs der Steuerbemessung und Controle, anderseits wegen der aus den Veraenderungen im Besitzstande sich nothwendig ergebenden Flaechenfestsetzungen als den Hauptbeweggrund jener Vermessungen zu erkennen, wobei die gesammelten Erfahrungen gewiss auch bei der Beurtheilung der unzweifelhaft nach den periodisch eintretenden Nilueberschwemmungen vorgekommenen Terrainveraenderungen mit Vortheil benutzt worden sein moegen. Unverkennbar ist der Zug nach Aufbauschung und Ausschmueckung des, jene Nilueberschwemmungen betreffenden Theiles des *Herodot*'schen Berichtes, wenn man die Aufzeichnungen spaeterer Gewaehrsmaenner naeher betrachtet. Zunaechst finden wir bei *Heron* dem Aelteren die folgende diesbezuegliche Stelle(7): "Die frueheste Geometrie beschaeftigte sich, wie uns die alte Ueberlieferung lehrt, mit der Messung und Vertheilung der Laendereien, woher sie Feldmessung genannt wurde. Der Gedanke einer Messung naemlich ward den Aegyptern an die Hand gegeben durch die Ueberschwemmungen des Nil. Denn viele Grundstuecke, die vor der Flussschwelle offen dalagen, verschwanden beim Steigen des Flusses und kamen erst nach dem Sinken desselben zum Vorschein, und es war nicht immer moeglich, ueber die Identitaet derselben zu entscheiden. Dadurch kamen die Aegypter auf den Gedanken einer solchen Messung des vom Nil blossgelegten Landes." Weiter finden wir bei *Diodor*(8) einen Ausspruch, durch welchen wir uebrigens auch ueber andere wissenschaftliche Leistungen der Aegypter belehrt werden; *Diodor* sagt: "Die Priester lehren ihre Soehne zweierlei Schrift, die sogenannte heilige, und die, welche man gewoehnlich lernt. Mit Geometrie und Arithmetik beschaeftigen sie sich eifrig. Denn indem der Fluss jaehrlich das Land vielfach veraendert, veranlasst er viele und mannigfache Streitigkeiten ueber die Grenzen zwischen den Nachbarn; diese koennen nun nicht leicht ausgeglichen werden, wenn nicht ein Geometer den wahren Sachverhalt durch directe Messung ermittelt. Die Arithmetik dient ihnen in Haushaltungsangelegenheiten und bei den Lehrsaetzen der Geometrie; auch ist sie denen von nicht geringem Vortheile, die sich mit Sternkunde beschaeftigen. Denn wenn bei irgend einem Volke die Stellungen und Bewegungen der Gestirne sorgfaeltig beobachtet worden sind, so ist es bei den Aegyptern geschehen; sie verwahren Aufzeichnungen der einzelnen Beobachtungen seit einer unglaublich langen Beihe von Jahren, da bei ihnen seit alten Zeiten her die groesste Sorgfalt hierauf verwendet worden ist. Die Bewegungen und Umlaufszeiten sowie die Stillstaende der Planeten, auch den Einfluss eines jeden auf die Entstehung lebender Wesen und alle ihre guten und schaedlichen Einwirkungen haben sie sehr sorgfaeltig beobachtet." Am innigsten verknuepft erscheint die Geometrie der Aegypter mit den Ueberschwemmungen des Nil bei *Strabon*(9); welcher bemerkt, "dass es einer sorgfaeltigen und bis auf das Genaueste gehenden Eintheilung bedurfte, wegen der bestaendigen Verwuestung der Grenzen, die der Nil bei seinen Ueberschwemmungen veranlasst, indem er Land wegnimmt und zusetzt, und die Gestalt veraendert, und die anderen Zeichen unkenntlich macht, wodurch das fremde und eigene Besitzthum unterschieden wird. Man muesse daher immer und immer wieder messen. Hieraus soll die Geometrie entstanden sein." Den gesellschaftlichen Einrichtungen der Aegypter entsprechend, muss als feststehend angenommen werden, dass sich eine Kaste, nach eben Gehoertem die der Priester, mit dem wissenschaftlichen Theile der Geometrie beschaeftigte, waehrend eine andere, die der Feldmesser, die von den Ersteren aufgestellten und sorgsam gehueteten geometrischen Principien praktisch zur Anwendung brachte. Dabei wurden, wie wir spaeter sehen werden, die Geheimnisse der Priester, insoweit sie geometrische Wahrheiten und Berechnungsregeln betrafen, moeglicherweise nur insoweit enthuellt, dass bei deren Verwendung nur annaeherungsweise richtige Resultate zum Vorschein kamen. Wohl sind einige Schriftsteller so weit gegangen, dass sie, die unlaeugbaren Uebertreibungen des Zusammenhanges zwischen den Nilueberschwemmungen und der aegyptischen Geometrie im Auge behaltend, die Existenz der letzteren einfach negirten, und alle die citirten Aussprueche in das Gebiet der Fabel verwiesen. Was macht man jedoch dann mit den wohlbeglaubigten Nachrichten ueber die Reisen, welche hervorragende griechische Philosophen nach Aegypten unternahmen, oft jahrelang dort verweilend, um sich in die Geheimnisse aegyptischer Priester einweihen und mit deren geometrischem Wissen vertraut machen zu lassen? *Eudemus von Rhodos*(10), einer der aeltesten Peripatetiker, schrieb eine Geschichte der Mathematik, aus welcher uns durch *Proklos Diadochus*(11), einen Philosophen des fuenften nachchristlichen Jahrhunderts, ein Bruchstueck erhalten ist, welches sozusagen das einzige Mittel bildet, das uns einen Einblick in die geometrischen Errungenschaften der Griechen in den ersten dritthalb Jahrhunderten nach *Thales* gewaehrt. Hierin heisst es unter Anderem: "*Thales*, der nach Aegypten ging, brachte zuerst die Geometrie nach Hellas hinueber und Vieles entdeckte er selbst, von Vielem aber ueberlieferte er die Anfaenge seinen Nachfolgern; das Eine machte er allgemeiner, das Andere mehr sinnlich fassbar." Hundert Jahre nach dem Tode des *Pythagoras* berichtet der Redner *Isokrates*(12): "Man koennte, wenn man nicht eilen wollte, viel Bewunderungswuerdiges von der Heiligkeit aegyptischer Priester anfuehren, welche ich weder allein noch zuerst erkannt habe, sondern viele der jetzt Lebenden und der Frueheren, unter denen auch *Pythagoras* der Samier ist, der nach Aegypten kam und ihr Schueler wurde und die fremde Philosophie zuerst zu den Griechen verpflanzte." Waehrend der Aufenthalt des *Pythagoras* in Aegypten unter Anderen auch noch von *Strabon*(13) und *Antiphon*(14) bestaetiget wird, nennt uns *Diodor*(15) eine ganze Reihe von Namen, indem er sagt; "Die aegyptischen Priester nennen unter den Fremden, welche nach den Verzeichnissen in den heiligen Buechern vormals zu ihnen gekommen seien, den *Orpheus*, *Musaios*, *Melampus* und *Daidalos*, nach diesen den Dichter *Homer*, den Spartaner *Lykurgos*, ingleichen den Athener *Solon* und den Philosophen *Platon*. Gekommen sei zu ihnen auch der Samier *Pythagoras* und der Mathematiker *Eudoxos*, ingleichen *Demokritos von Abdera* und *Oinopides von Chios*. Von allen diesen weisen sie noch Spuren auf, von den Einen Bildnisse von den Anderen Orte und Gebaeude, die nach ihnen benannt sind. Aus der Vergleichung dessen, was jeder von ihnen in seinem Fache geleistet hat, fuehren sie den Beweis, dass sie Dasjenige um desswillen sie von den Hellenen bewundert werden, aus Aegypten entlehnt haben." Aus diesen Stellen geht mit Sicherheit hervor, dass viele Griechen nach Aegypten zogen, um bei den dortigen Priestern Philosophie und Mathematik kennen zu lernen, da wohl in den Berichten nur die hervorragenden Maenner angefuehrt wurden. Der Milesier *Thales*, welcher erst in vorgeruecktem Alter, und nachdem er als Handelsmann frueher gewiss schon mehrmals Aegypten besucht gehabt, sich daselbst behufs seiner Studien zu laengerem Aufenthalt niederlies, ist merkwuerdiger Weise in dem Berichte des Diodor nicht angefuehrt, und koennte man wohl aus diesem Umstande umsomehr einen gewissen Grad von Unglaublichkeit ableiten, als darin mythische Namen wie *Orpheus*, *Daidalos* und *Homer* angefuehrt erscheinen. Diese letzteren konnten jedoch sehr wohl dem im Ganzen und Grossen sonst richtigen Verzeichnisse vom Berichterstatter eigenwillig beigefuegt worden sein, um dadurch das hohe Alter aegyptischer Wissenschaft in ein vorteilhaftes Licht zu setzen. Abgesehen jedoch von aller Wahrscheinlichkeit oder Unwahrscheinlichkeit fuer die Exactheit obiger Aussprueche in Bezug auf einzelne Namen, duerfte jedenfalls das als unumstoessliche Wahrheit gelten, dass die aegyptischen Priester von den Griechen als in den Wissenschaften, insbesondere in der Geometrie sehr bewandert gehalten wurden, und zwar in einem solchen Maasse, dass eine Reihe hervorragender griechischer Philosophen es nicht verschmaehte, die, fuer damalige Verhaeltnisse nicht unbedeutende Reise nach Aegypten zu unternehmen, ja oft jahrelang in diesem Lande mit unbekannter Sprache und Schrift zu verweilen, um sich die Kenntnisse der Aegypter anzueignen. Stellt man nun zunaechst die Frage nach Quantitaet und Qualitaet des geometrischen Wissens, welches die Griechen von ihren Studienreisen mit nach Hause brachten, so scheint dies, selbst vom Standpunkte der unmittelbar nachpythagoraeischen Geometrie, aeusserst Weniges gewesen zu sein. *Thales* von Milet, einer der sieben griechischen Weltweisen, der Begruender der ionischen Schule, *Thales*, welcher fuer das Jahr 585 v. Chr. G. eine, auch eingetroffene Sonnenfinsterniss vorherzusagen wusste, soll, den uns von *Proklos* zugekommenen Berichten zufolge, in Aegypten nicht viel mehr erfahren haben, als die Saetze ueber die Gleichheit der Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreieckes, die Gleichheit der Scheitelwinkel am Durchschnitt zweier Geraden; er wusste ferner, wie ein Dreieck durch eine Seite und die beiden anliegenden Winkel bestimmt erscheint, diese Eroerterung zur Messung der Entfernungen von Schiffen auf dem Meere benuetzend, es war ihm bekannt, dass ein Kreis durch einen Durchmesser halbirt wird,(16) und soll er die Hoehe der Pyramiden aus der Laenge des Schattens gemessen haben, hoechst wahrscheinlich in dem Momente, wo die Schattenlaenge eines senkrechten Stabes der Stablaenge gleich ist,(17) moeglicherweise jedoch, wie *Plutarch*(18) berichtet, auch zu einer beliebigen Tageszeit. Auch wird ihm von *Pamphile*(19) die Kenntniss des Satzes zugeschrieben, dass der Peripheriewinkel im Halbkreise ein rechter sei. Gewiss hat Thales wenigstens jene geometrischen Fundamente in Aegypten kennen gelernt, welche es ihm ermoeglichten, die genannten Saetze als wahr zu erkennen, wenn auch bei ihm, selbst bei diesen einfachen Dingen an einen strengen Beweis nicht gedacht werden kann. Es waere jedoch voreilig, aus der Geringfuegigkeit der Thaletischen geometrischen Kenntnisse mit *Montucla* (20) zu schliessen, dass auch die Aegypter nicht viel mehr gewusst haetten. Man kann wohl annehmen, dass die aegyptischen Priester bei ihrer den Fremden gegenueber beobachteten Zurueckhaltung nur einen Theil ihres Wissens offenbarten; wer koennte jedoch bemessen, in welchem Verhaeltnisse dieser Theil zu ihrem Gesammtwissen stand? Der Ansicht *Montucla*'s kann man entgegensetzen, dass die Aegypter den Fremden nur einen kleinen Bruchtheil ihres sorgsam im Verborgenen gehueteten Wissens preisgegeben haben mochten, wobei ferner nicht unberuecksichtigt bleiben darf, dass den nach Aegypten gekommenen Griechen auch die Unkenntniss der Sprache und der Schrift weitere, nicht zu unterschaetzende Schwierigkeiten bereitete, in dem Maasse als vielleicht Manches, was ihnen die aegyptischen Priester von aegyptischem Wissen zur Verfuegung stellten, unverstanden bleiben konnte. Was nun das Wesen aegyptischer Geometrie betrifft, so finden wir in den Berichten der Alten fast gar keine Anhaltspunkte, um uns hierueber Klarheit verschaffen zu koennen, und war man bis vor Kurzem darauf hingewiesen, aus den Anfaengen griechischer Mathematik auf den Stand der aegyptischen zurueckzuschliessen, was, wie aus dem Vorhergesagten folgen duerfte, mit nicht geringen Schwierigkeiten verbunden erscheint. Die Ansicht, dass die Geometrie der Aegypter eigentlich nur constructiver Natur war, aehnlich dem was wir als Reisskunst zu bezeichnen pflegen,(21) duerfte sich nicht als stichhaeltig erweisen; es moege jedoch gleich jetzt darauf hingedeutet werden, dass die Aegypter im Construiren geometrischer Formen nicht unbewandert sein konnten. So sagt in etwas prahlerischer Weise *Demokritos* von *Abdera*(22) um 420 v. Chr. G.: "Im Construiren von Linien nach Maassgabe der aus den Voraussetzungen zu ziehenden Schluesse hat mich keiner je uebertroffen, selbst nicht die sogenannten Harpedonapten der Aegypter"; und *Theon* von *Smyrna*(23) erzaehlt, dass "Babylonier, Chaldaeer und Aegypter eifrig nach allerhand Grundgesetzen und Hypothesen suchten, durch welche den Erscheinungen genuegt werden koennte; zu erreichen suchten sie dies dadurch, dass sie das frueher Gefundene in Ueberlegung zogen, und ueber die zukuenftigen Erscheinungen Vermuthungen aufstellten, wobei die Einen sich arithmetischer Methoden bedienten, wie die Chaldaeer, die Anderen construirender wie die Aegypter". Aus diesen und aehnlichen Berichten, sowie aus dem Umstande, dass die Anfaenge der griechischen Geometrie selbst hauptsaechlich constructiver Natur waren, muss man zu dem Schlusse kommen, dass die alten Aegypter seit unvordenklichen Zeiten die Reisskunst pflegten, und in der langen Reihe der Jahrhunderte sicherlich eine ziemlich bedeutende Masse sowohl einfacher als complicirterer Constructionen erfanden und in ein gewisses System brachten, von Ersteren zu Letzteren aufsteigend. Diese Constructionen duerften ihrem groesseren Theile nach, und zwar jenem Theile nach, welcher, wenn auch ohne Begruendung Gemeingut der die Kuenste und Gewerbe betreibenden Kasten wurde, nur solche gewesen sein, die dem praktischen Beduerfnisse dienen konnten, also zumeist Ornamentenconstructionen. Wir bemerken hier unter Anderem das Vorkommen regelmaessiger geometrischer Figuren auf uralten Wandgemaelden, wie sie sich z. B. als faerbige Zeichnungen aus den Zeiten der fuenften Dynastie, also unmittelbar nach den Erbauern der Pyramiden, das ist 3400 Jahre v. Chr. G. etwa vorfinden.(24) Man sieht unter der grossen Menge der in dieser Zeit vorkommenden Figuren eine, aus verschobenen, ineinander gezeichneten, theilweise durch zu einer Diagonale Parallele zerlegten Quadraten zusammengesetzte Figur, ferner aus der Zeit von der zwoelften bis zur sechsundzwanzigsten Dynastie, eine Figur, bestehend aus einem Quadrate, und zwei, laengs der Diagonale centrisch hineingelegten lemniscatischen Curven, sowie eine Zusammenstellung von um fuenfundvierzig Grade gegeneinander verdrehten, sich durchsetzenden Quadraten. Kreise erscheinen durch ihre Durchmesser in gleiche Kreisausschnitte getheilt; so zunaechst durch zwei oder vier Durchmesser in vier beziehungsweise acht, und in spaeteren Zeiten auch durch sechs Durchmesser in zwoelf gleiche Ausschnitte; die in den Zeichnungen vorkommenden Wagenraeder besitzen zumeist sechs, seltener vier Speichen, so dass auch die Theilung des Kreises durch drei Diameter in sechs gleiche Kreisausschnitte vertreten erscheint. In einer unvollendet gebliebenen Kammer des Grabes *Seti I.*, des Vater *Ramses II.* aus der neunzehnten Dynastie (das sogenannte Grab *Belzoni*)(25) finden wir die Waende behufs Anbringung von Reliefarbeiten mit einem Netze gleich grosser Quadrate bedeckt, und es kann keinem Zweifel unterliegen, dass wir es hier mit der Anwendung eines Verkleinerungs- beziehungsweise Vergroesserungsmaassstabes zu thun haben. Wenn nun auch die einfachen Figuren des Dreieckes, Quadrates und des Kreises hoechst wahrscheinlich ohne besondere Ueberlegung, einfach dem inneren geometrischen Formendrange entsprungen sein duerften, so ist doch gewiss, dass ihre verschiedenartige Zusammensetzung zu Mustern das Product, wenn auch primitiven geometrischen Denkens war, welches dann schon eine ziemliche Selbststaendigkeit erreicht haben musste, als die vorerwaehnte Anwendung von Proportionalmaassstaeben in Uebung kam. Andererseits musste das oeftere Betrachten der regelmaessigen Figuren einen geometrisch disponirten Geist von selbst zum Aufsuchen unbekannter Eigenschaften derselben reizen, und vielleicht ist der Thaletische Satz von der Halbirung des Kreises durch einen Durchmesser nichts als eine aus der Betrachtung jener aegyptischen Zeichnungen gewonnene Abstraction, und huldigen wir in dieser Beziehung der Ansicht, dass *Thales* beim Ausspruche des erwaehnten, fuer uns freilich hoechst einfach klingenden Satzes, wahrscheinlich sagen wollte, nur der Kreis habe die ausgezeichnete Eigenschaft, von allen durch einen Punkt, den Mittelpunkt, gehenden Geraden in lauter untereinander gleiche Haelften getheilt zu werden. Von besonderer Wichtigkeit scheint uns jedoch der frueher citirte selbstgefaellige Ausspruch des *Demokritos* zu sein, da er uns vor einer ungerechtfertigten Unterschaetzung aegyptischer Constructionsgewandtheit bewahren kann. Bedenklich in *Demokritos*' Angabe koennte allenfalls jenes Selbstlob erscheinen, das er sich spendet; wenn es nun wohl auch schon im Alterthume Maenner geben mochte, die ihre Beruehmtheit vorzugsweise und oft nur der Hochschaetzung verdankten, die sie sich selbst und ihren Werken gezollt, Maenner, welche in der Verbreitung des eigenen Lobes so emsig, so unermuedlich waren, dass sich um sie als die davon Ueberzeugtesten noch ein Kreis von Glaeubigen bildete, welche den, oft nur auf schwankenden Fuessen einhergehenden Ruhm ihrer Profeten weiter fuehrten, so ist doch die Bedeudung des Geometers *Demokritos* durch so viele, und verschiedenen Quellen entspringende Aussprueche beglaubigt, dass es gewiss Niemandem einfallen wird, seine Autoritaet als die eines gruendlichen Kenners der Geometrie seiner Zeit in Zweifel zu ziehen. Wohl sind uns von den geometrischen Werken des *Demokritos*, und kaum von allen nur die ganz allgemein klingenden Titel erhalten. Waehrend uns *Cicero*(26) diesen Philosophen als einen gelehrten, in der Geometrie vollkommen bewanderten Mann anpreist, theilt uns *Diogenes Laertius*(27) mit, dass *Demokritos* "ueber Geometrie", "ueber Zahlen", "ueber den Unterschied des Gnomon oder ueber die Beruehrung des Kreises und der Kugel", sowie zwei Buecher "ueber irrationale Linien und die dichten Dinge" geschrieben habe, Schriften, deren Titel theilweise uns ueber ihren Inhalt ganz im Unklaren lassen. Legen wir den angefuehrten Zeugnissen Glauben bei, und es ist kein Grund vorhanden dies nicht zu thuh, so muessen wir von *Demokritos* als von einem "in der Geometrie vollkommenen Manne" voraussetzen, dass er mit den Errungenschaften des *Pythagoras*, welcher ein Jahrhundert vor *Demokritos* Aegypten besucht hatte, vollkommen vertraut war. Gewiss war ihm somit bekannt: die Methode der "Anlegung der Flaechen", welche wieder die Vertrautheit mit den Hauptsaetzen aus der Theorie der Parallelen und der Winkel, so wie die Kenntniss der Abhaengigkeit der Flaecheninhalte von den ihnen zukommenden Ausmaassen voraussetzt. Nicht minder bekannt mussten ihm die, dem *Pythagoras* zugeschriebenen Constructionen der fuenf regelmaessigen, sogenannten kosmischen Koerper sein, woraus sich weiter schliessen laesst, dass auch einerseits die Eigenschaften der Kugel, welcher doch jene Koerper eingeschrieben wurden, und anderseits die Entstehungen der regelmaessigen, jene Koerper begrenzenden Vielecke, vor Allem die des Fuenfeckes dem *Demokritos* nicht ungelaeufig sein konnten. Die Construction des Letzteren erheischt wiederum die Kenntniss der Lehre vom goldenen Schnitt, und diese den Satz vom Quadrate der Hypothenuse(28). Hat nun *Demokritos* auch selbst nichts Neues hinzugefuegt, so musste er doch Jenes kennen; wenn er nun anderseits sagt: "im Construiren haette ihn Niemand, selbst nicht die Harpedonapten der Aegypter uebertroffen", so duerfen wir hieraus mit Sicherheit schliessen, dass die geometrischen Kenntnisse der aegyptischen Priester bedeutend genug gewesen sein mussten, weil sich *Demokritos* sonst kaum gerade ueber diese Geometer gesetzt haette. Doch verlassen wir fuer jetzt die Nachrichten des griechischen Alterthums, welche in der Beurtheilung aegyptischer Geometrie nur Conjecturen zulassen, und blicken wir nach directen Denkmalen aegyptischen Ursprungs, aus denen vielleicht Schluesse gezogen werden koennten auf Wesen und Umfang aegyptischer Geometrie. Das Britische Museum bewahrt eine Papyrusrolle, welche aus dem Nachlasse des Englaenders *A. Henry Rhind* stammt, die derselbe nebst anderen werthvollen Rollen in Aegypten kaeufllich an sich gebracht haben duerfte. Der erwaehnte Papyrus, ein altes Denkmal aegyptischer Mathematik, ist, wie es scheint, nicht mit vollster Berechtigung als ein "mathematisches Handbuch" der alten Aegypter bezeichnet worden(29). Der fragliche Papyrus nennt sich selbst eine Nachahmung aelterer mathematischer Schriften, denn es heisst in der Einleitung: "Verfasst wurde diese Schrift im Jahre dreiunddreissig im vierten Monat der Wasserzeit unter Koenig Ra-a-us, Leben gebend nach dem Muster alter Schriften in den Zeiten des Koenigs ...at vom Schreiber Aahmes verfasst die Schrift." Nachdem zuerst Dr. *Birch*(30) auf diesen mathematischen Papyrus durch einen kurzen vorlaeufigen Bericht aufmerksam gemacht hatte, wurde der Gegenstand von dem ausgezeichneten Heidelberger Aegyptologen Dr. *Eisenlohr* einer eingehenden, hoechst schwierigen und zeitraubenden Untersuchung unterzogen, deren Resultate, was die Uebersetzung betrifft, unseren gegenwaertigen Betrachtungen zu Grunde liegen. Bezueglich des Alters des Papyrus hat man jenes der vorhandenen Abschrift von dem Alter des unbekannten Originals zu unterscheiden. Nach der von *Eisenlohr* gegebenen Vervollstaendigung der in der erwaehnten Einleitung auf das Wort Koenig folgenden Luecke, wuerde der Herrscher, unter dessen Regierung das Original entstanden ist, der Koenig *Ra-en-mat* sein, dessen Regierungszeit *Lepsius*(31) auf 2221--2179 v. Chr. G. legt. Da ferner der Name *Ra-a-us* in den bis dahin vorhandenen Koenigslisten nicht vorkommt, sah man sich, um die Zeit der Entstehung der Abschrift wenigstens annaehernd angeben zu koennen, darauf angewiesen, aus der bekannten Sitte der Aegypter die Eigennamen der eben herrschenden oder der unmittelbar vorhergegangenen Regenten zu gebrauchen, Schluesse zu ziehen. Und da liess der Name *Aahmes* des Schreibers, sowie auch die (althieratische) Schrift des Papyrus vermuthen, dass derselbe um 1700 v. Chr. G. entstanden sein duerfte. Die Vermuthung in Bezug auf das Zeitalter der Abschrift hat sich nun neueren Forschungen zu Folge vollkommen bestaetigt. Denn *Ra-a-us* wurde als der Hyksoskoenig *Apophis* erkannt, und *Aahmes* duerfte seinen Namen von dem, kurze Zeit dem Apophis vorhergegangenen Koenige *Amasis* entlehnt haben. Es erscheint so vollkommen sichergestellt, dass unser Papyrus aus dem achtzehnten Jahrhundert v. Chr. G. stammt. Die Eingangsworte des Papyrus, welche lauten: "Vorschrift zu gelangen zur Kenntniss aller dunklen Dinge, aller Geheimnisse, welche enthalten sind in den Gegenstaenden", sowie die Anordnung des Stoffes in Arithmetik, Planimetrie und Stereometrie, an welche sich ein, verschiedene Beispiele enthaltender Theil anschliesst, konnten im ersten Augenblicke den Gedanken aufkommen lassen, dass wir es vielleicht mit einem Lehrbuche der Mathematik zu thun haben. Der Umstand jedoch, dass der Papyrus nur die Zusammenstellung, allerdings eine in gewissem Grade systematische Zusammenstellung von Aufgaben nebst ihren Loesungen und den zugehoerigen Proben ist, ohne dass Definitionen oder Lehrsaetze und Beweise vorkommen wuerden, liess den Papyrus wiederum als eine Aufgabensammlung, als ein Anleitungsbuch fuer Praktiker erscheinen. Man ist noch weiter gegangen, und stellte die Ansicht auf, der Autor habe bei Abfassung dieser Schrift vorzueglich an Landleute, welchen die Theorie unzugaenglich war, gedacht. Daraufhin weise nicht nur die Formulirung des groessten Theiles der Aufgaben, welche Verhaeltnisse und Beduerfnisse der Landwirthschaft beruecksichtigen, sondern auch der Schlusssatz des Papyrus, welcher sagt: "Fange das Ungeziefer und die Maeuse, (vertilge) das verschiedenartige Unkraut, bitte Gott *Ra* um Waerme, Wind und hohes Wasser". Dass wir es nicht mit einem Handbuche, welches dem damaligen Standpunkte der mathematischen Wissenschaften in Aegypten entsprechen muesste, zu thun haben, ergibt sich nicht nur aus dem schon hervorgehobenen Mangel an Definitionen, Lehrsaetzen und Beweisen, ja es fehlt selbst jede Erklaerung, sondern auch aus dem Umstaende, dass neben der richtigen Loesung einzelner Aufgaben die unrichtigen oder unvollendeten Loesungen derselben oder aehnlicher Aufgaben, sowie manche Wiederholungen vorkommen. Nur nebenbei verweisen wir darauf, dass in einem Handbuche unzweifelhaft wenigstens Anklaenge an die erste der Wissenschaften des Alterthums, an die Astronomie, zu finden sein muessten. Doch ist von diesem Theile der Mathematik im Papyrus nicht die geringste Spur zu finden. Aufklaerungen ueber den wahren Charakter des Originals unseres Papyrus, und eine viele Wahrscheinlichkeit besitzende Vermuthung ueber die Entstehung der uns beschaeftigenden Abschrift, verdanken wir dem Scharfsinne des franzoesischen Aegyptologen Eugene *Revillout*.(32) Bei richtiger Erwaegung des Umstandes, dass oft auf ein fehlerlos geloestes Beispiel, falsche Loesungen aehnlicher Beispiele folgen, welchen sich dann gewoehnlich eine Reihe von Uebungsrechnungen anschliesst, Rechnungen die einem Schulpensum in hohem Grade aehnlich sehen, bei Betrachtung der Thatsache ferner, wie ein und dasselbe Zahlenbeispiel oft einigemal und zwar so behandelt wird, dass der Reihe nach die vorkommenden Zahlenwerthe als die berechneten Resultate erscheinen, draengt sich uns mit *Eugene Revillout* die Ueberzeugung auf, dass wir es mit dem Uebungs- oder Aufgabenhefte eines Zoeglings jener Unterrichtshaeuser (a.sbo) zu thun haben, wie deren in so manchem Papyrus Erwaehnung geschieht, und in denen die Schueler, welche spaeter Landwirthe, Verwalter, Feldmesser oder Constructeure werden wollten, mit den fuer ihre kuenftige Laufbahn notwendigen Rechnungsoperationen vertraut gemacht wurden. Da dieses Schulheft selbstverstaendlich nicht fuer die Oeffentlichkeit bestimmt sein konnte, so traegt es auch thatsaechlich keinen Autornamen und keine Jahresangabe; denn, was die in der Einleitung bezueglich der Zeitperiode, in welcher das Original entstanden sein sollte, gemachte Erwaehnung betrifft, so ist mehr als wahrscheinlich, dass dieselbe von dem Abschreiber *Aahmes* herruehrt, welcher das Original einige Jahrhunderte nach seiner Entstehung auffand, und dasselbe, der Mathematik gewiss ganz unkundig, sammt allen Fehlern abschrieb, zu diesen noch neue hinzufuegend. Nachdem *Aahmes* aus der Aehnlichkeit der Schriftart des mathematischen Heftes mit der Schrift anderer ihm bekannten Papyri auf das Alter des ersteren einen im Ganzen und Grossen nicht unrichtigen Schluss gezogen haben mochte, so koennen wir das Ende, vielleicht auch die Mitte des dritten Jahrtausends v. Chr. G. als jene Zeit betrachten, in welcher das Original der Abschrift entstanden sein duerfte. Ob *Aahmes* die Abschrift mit der viel versprechenden Einleitung und der zugleich praktischen und gottesfuerchtigen Schlussregel in der Absicht versehen hatte, um sie an irgend einen einfachen aegyptischen Landmann um gutes Geld anzubringen, lassen wir dahingestellt, und wiederholen nur unsere Uebereinstimmung mit der Ansicht, dass das Original des Papyrus neben den von einem Lehrer der Mathematik herruehrenden Musterbeispielen, die sehr oft verunglueckten Uebungen eines Schuelers enthaelt, eines Schuelers ueberdies, der nicht zu den hervorragenden seiner Glasse gehoert haben mochte. Und wie kostbar ist dennoch dieses altaegyptische Schulheft! Wenn wir in aller Eile eine Skizze seines Inhaltes vorfuehren sollen, so muessen wir zunaechst die sich auf acht Columnen der oben erwaehnten Einleitung anschliessende Theilung der Zahl 2 durch die Zahlen von 3 bis 99 erwaehnen; jeder auftretende Bruch erscheint in zwei bis vier sogenannte Stammbrueche, Brueche mit dem Zaehler Eins, zerlegt, und sind die Nenner der letzteren meist gerade Zahlen mit einer groesseren Divisorenanzahl. Im Anschluss an diese Tabelle finden wir sechs Beispiele, in denen in Form von Brodvertheilungen die Division der Zahlen l, 3, 6, 7, 8 und 9 durch die Zahl 10 gelehrt wird, und es folgt hierauf in 17 Beispielen die sogenannte Sequem- oder Ergaenzungsrechnung, in welcher es sich darum handelt, Zahlenwerthe zu finden, die mit gegebenen Werthen durch Addition oder Multiplication verbunden, andere gegebene Zahlenwerthe liefern. Die naechsten 15 Beispiele gehoeren der sogenannten *Haurechnung* an, und finden wir in diesem Abschnitte die Loesungen linearer Gleichungen mit einer Unbekannten. Zwei weitere, der sogenannten *Tunnu-* oder Unterschiedsrechnung angehoerige Beispiele belehren uns darueber, dass den alten Aegyptern der Begriff arithmetischer Reihen nicht fremd war. Es folgen nun sieben Beispiele ueber Volumetrie, ebensoviele ueber Geometrie und fuenf Beispiele ueber Berechnungen von Pyramiden, also 19 Aufgaben ueber die wir spaeter noch einige Worte sagen muessen. Hieran schliessen sich endlich dreiundzwanzig verschiedenen Materien entlehnte, Fragen des buergerlichen Lebens betreffende Beispiele, wie die Berechnung des Werthes von Schmuckgegenstaenden, abermals Vertheilungen von Broden oder von Getreide, Bestimmung des auf einen Tag entfallenden Theiles eines Jahresertrages, Berechnungen von Arbeitsloehnen, Nahrungsmitteln sowie des Futters fuer Gefluegelhoefe. Einer besonderen Ankuendigung werth erscheinen uns in dieser letzten Abtheilung zwei Beispiele; das eine derselben(33) laesst keinen Zweifel darueber aufkommen, dass den alten Aegyptern die Theorie der arithmetischen Progressionen vollkommen gelaeufig war, waehrend wir in dem zweiten(34) unter der Aufschrift "eine Leiter" die geometrische Progression von 7 hoch 1 bis 7 hoch 5 nebst deren Summe vorfinden, wobei die einzelnen Potenzen eigene Namen: an, Katze, Maus, Gerste, Maass zu fuehren scheinen. Nicht unbemerkt lassen wir endlich die in den Haurechnungen auftretende Benuetzung mathematischer Zeichen; so nach links oder rechts ausschreitender Beine fuer Addition und Subtraction, drei horizontale Pfeile fuer Differenz, sowie endlich ein besonderes, dem unseren nicht unaehnliches Gleichheitszeichen. Aus dem geometrischen Theile heben wir zunaechst, der Anordnung des Papyrus nicht folgend, die Flaechenberechnungen von Feldern hervor. Die vorkommenden Beispiele beziehen sich auf quadratische, rechteckige, kreisrunde und trapezfoermige Felder, deren Flaecheninhalte aus ihren Laengenmaassen bestimmt werden. Nachdem in den Aufgaben ueber die Berechnung des Fassungsvermoegens von Fruchtspeichern mit quadratischer Grundflaeche diese letztere gefunden wird durch Multiplication der Maasszahl der Seite mit sich selbst, kann es gar keinem Zweifel unterliegen, dass auch die Flaeche des Rechteckes durch Multiplication der Maasszahlen zweier zusammenstossender Seiten erhalten wurde, da die Erkenntniss der Richtigkeit der einen Bestimmungsart, jene der Richtigkeit der anderen involvirt. Schon die Betrachtung solcher Proportionalmaassstaebe, wie wir sie im Grabe *Belzoni* bemerken konnten, haette die alten Aegypter, die mit Gleichungen und arithmetischen Reihen umzugehen wussten, auf die Bestimmung der Flaeche eines Rechteckes aus seinen beiden Seitenlaengen mit Nothwendigkeit fuehren muessen, und werden wir uns durch den Umstand, dass im Papyrus der diesbezueglichen Aufgabe eine zu ihr nicht gehoerige Loesung beigefuegt ist, durchaus nicht beirren lassen. Von hohem Interesse ist die, an mehreren Stellen des Papyrus vorkommende Methode der Flaechenberechnung eines Kreises, welche zeigt, dass die alten Aegypter mit ziemlicher Annaeherung den Kreis zu quadriren wussten, in der That zu quadriren, weil sie aus dem Durchmesser eine Laenge ableiten, welche als Seite ein Quadrat liefert, dessen Flaeche jener des Kreises gleichgesetzt wurde. Da sie acht Neuntel des Durchmessers zur Seite jenes Quadrates machten, so entspricht dies einem Werthe der Ludolphischen Zahl, welcher dem richtigen Werthe gegenueber um nicht ganz zwei Hundertstel (um 0,018901) zu hoch gegriffen erscheint; fuer das dritte Jahrtausend v. Chr. G. und im Vergleiche zu dem Werth pi = 3 der Babylonier, und noch mehr im Vergleiche zu dem Werthe pi = 4 spaeterer roemischer Geometer, jedenfalls eine nicht zu unterschaetzende Annaeherung an den richtigen Werth. Eine Aufgabe behandelt die Flaechenbestimmung des Dreieckes, wobei das Resultat als das Product zweier Seitenlaengen gefunden wird. Die hier beigefuegte Figur(35), welche in Wirklichkeit ein ungleichseitiges langgestrecktes Dreieck darstellt, kann ebensowohl als die verfehlte Zeichnung eines rechtwinkligen wie auch eines gleichschenkligen Dreieckes betrachtet werden. Letztere Annahme ist von *Eisenlohr* gemacht und von *Cantor*(36) acceptirt worden. Darnach wuerde sich die Methode der Dreiecksberechnung der alten Aegypter nur als eine Naeherungsmethode darstellen, und ist auch von beiden genannten Gelehrten der begangene, in diesem Falle in der That nicht bedeutende Fehler ermittelt worden. Wir sind dagegen mit Revillout anderer Meinung. Mit Ruecksicht auf den von uns klar erkannten Charakter des Originales des Papyrus als eines sehr ungenauen Collegienheftes, dessen Rechnungen ebensosehr wie die vorkommenden Zeichnungen von der Mittelmaessigkeit seines Zusammenstellers beredtes Zeugniss ablegen, zweifeln wir keinen Augenblick, dass die fragliche Figur ein rechtwinkliges Dreieck vorzustellen hatte. Die mangelhafte Schuelerzeichnung ist durch den Copisten *Aahmes* nur noch schlechter geworden. Dass ein rechtwinkliges Dreieck gemeint sein soll, erkennt man uebrigens auch aus dem Umstande, dass in der Figur die Maasszahlen der multiplicirten Seiten bei den Schenkeln des, vom rechten Winkel nur wenig differirenden Winkels angesetzt sind, wo doch, wenn es sich haette um ein gleichschenkliges Dreieck handeln sollen die Maasszahl der Schenkel in der Figur gewiss bei beiden Schenkeln zu finden waere. Dieselben Gruende bestimmen uns zu der Annahme, dass die im Papyrus befindliche Flaechenberechnung eines Trapezes eine vollkommen richtige ist, indem es sich auch hier nur um ein Trapez handeln kann, dessen zwei parallelen Seiten auf einer der nicht parallelen Seiten senkrecht stehen. Und warum sollten denn die alten Aegypter nicht die richtige Art der Flaechenberechnung auch beliebiger Dreiecke gekannt haben? Konnte man einmal die Flaeche eines Rechteckes genau bestimmen, so musste sich durch einfache Anschauung eines, durch eine Diagonale zerlegten Rechteckes, von selbst die Regel zur Flaechenbestimmung des rechtwinkligen Dreieckes ergeben; und wurde nun ein beliebiges schiefwinkliges Dreieck durch ein Hoehenperpendikel in zwei rechtwinklige zerlegt, so war nichts leichter als die allgemeine Regel zur Bestimmung der Dreieckflaeche aus Basis und Hoehe (tepro und merit) zu entwickeln. Dass die Gewinnung des Hoehenperpendikels sowohl bei Constructionen als auch auf dem Felde den alten Aegyptern nicht unmoeglich war, folgt zunaechst aus der grossen Bedeutung der Winkelmaasses (hapt) fuer alle Operationen der praktischen Geometer Aegyptens. Nicht nur, dass wir in vielen aegyptischen Documenten das Winkelmaass erwaehnt finden, sieht man auch Koenige abgebildet, das Winkelmaass in der Hand, welches von ihnen vielleicht in derselben Weise durch symbolische Benuetzung geehrt wurde, wie der Kaiser von China alljaehrlich einmal den Pflug zu fuehren pflegt. Ein solches Winkelmaass sieht man uebrigens auch auf einem Wandgemaelde abgebildet, das eine Schreinerwerkstaette darstellt,(37) und es unterliegt keinem Zweifel, dass dasselbe ebensowohl zur Anlegung rechter Winkel als zum Faellen von Senkrechten benuetzt worden ist. Aber auch auf freiem Felde musste den Aegyptern die Construction rechter Winkel gelaeufig sein; sowohl die Pyramiden als auch die aegyptischen Tempel sind vollkommen orientirt, und wurde, wie uns alte Inschriften(38) belehren, die Orientirung in festlicher Weise vom Koenige unter Beihilfe der Bibliotheksgoettin *Safech* vollzogen, mit den Worten: "Ich habe gefasst den Holzpflock und den Stiel des Schlaegels, ich halte den Strick gemeinschaftlich mit der Goettin *Safech*. Mein Blick folgt dem Gange der Gestirne. Wenn mein Auge an dem Sternbilde des grossen Baeren angekommen ist, und erfuellt ist der mir bestimmte Zeitabschnitt der Zahl der Uhr, so stelle ich auf die Eckpunkte Deines Gotteshauses." In welchem Maasse bei diesen Operationen die von *Demokritos* so hochgestellten *Harpedonapten* oder Seilspanner betheiligt waren, hat *Cantor*(39) in hoechst scharfsinniger Weise zu beleuchten versucht, und es erscheint auch uns wahrscheinlich, dass sich die alten Aegypter beim Construiren rechter Winkel sowie beim Faellen von Senkrechten auf dem Felde, der Thatsache bedienten, dass der eine Winkel in einem, die Seitenlaengen drei, vier und fuenf besitzenden Dreiecke, ein rechter Winkel sein muesse. Musste ja doch dieser Satz seit unvordenklichen Zeiten auch den Chinesen bekannt sein, da wir ihn in der bei ihnen so beruehmten Schrift _Tschiu-pi_ finden, welche mehrere Jahrhunderte v. Chr. G. entstanden, auf den Kaiser *Tschiu-Kung* also in das Jahr 1100 v. Chr. G. etwa zurueckgefuehrt wird.(40) Uebrigens konnten directe Messungsversuche an diagonalen Linien in den Proportionalmaassstaeben sowohl zu dem erwaehnten als auch noch zu anderen rechtwinkligen Dreiecken mit rationalen Seitenlaengen gefuehrt haben, und scheint uns die Moeglichkeit nicht ausgeschlossen, dass der beruehmte und beruechtigte Satz des *Pythagoras* ueber die Quadrate der Katheten und der Hypothenuse einer eingehenden Untersuchung solcher Proportionalmaassstaebe entsprungen ist. Wenn wir nun einerseits behaupten, dass die alten Aegypter nicht nur die Flaeche des Kreises, des Quadrates, des Rechteckes, des rechtwinkligen sowie des schiefen Dreieckes, und unter Zuhilfenahme der Zerlegungen auch die Flaechen beliebiger Polygone theoretisch genau zu bestimmen im Stande waren, mit Ausnahme der auch fuer uns eine solche bildenden Kreisflaeche, so muss doch anderseits zugestanden werden, dass man sich bei praktischen Anwendungen mit Naeherungen begnuegte, welche im Laufe der Zeiten so ausarteten, dass der Gebrauch falscher Regeln ein allgemeiner wurde. Am linken Nilufer in der Mitte zwischen *Theben* und *Assuan* liegt *Edfu*, das alte *Appollinopolis Magna* mit einem stattlichen Tempelbau aus den Zeiten der Ptolomaeer. Der Tempel, hauptsaechlich dem Gotte *Horus* geweiht, ist mit einer freistehenden Umfassungsmauer umgeben,(41) deren Ostseite zwischen dem Brunnenthore und dem oestlichen Pylonfluegel eine Inschrift traegt, welche uns auf acht Feldern und in hundertvierundsechzig Columnen(42) eine Schenkungsurkunde des Koenigs *Ptolomaeus XI. Alexander I.* (mit dem Beinamen *Philometor*) bekannt gibt. Das Geschenk, welches hier *Horus* und den uebrigen Goettern von *Edfu* verliehen wird, besteht aus einer Anzahl von meist viereckigen Aeckern, deren vier Seitenlaengen nebst Flaecheninhalten angegeben erscheinen. Da jeder der vorkommenden Flaecheninhalte identisch ist mit dem Producte der arithmetischen Mittel der beiden Gegenseitenpaare, so wurde nach *Lepsius* die Vermuthung aufgestellt, die alten Aegypter haetten, um Vierecke bei der Flaechenbestimmung annaehernd wie Rechtecke behandeln zu koennen, den Unterschied der Gegenseiten dadurch auszugleichen gesucht, dass sie die arithmetischen Mittel derselben in Rechnung zogen. Bei sehr vielen der in der *Edfu*er Schenkungsurkunde vorkommenden Vierecke ist der Unterschied je zweier Gegenseiten entweder Null oder verhaeltnissmaessig so klein, dass man den betreffenden Vierecken eine vom Rechtecke wenig verschiedene Gestalt beilegen kann, und die erhaltenen Resultate somit eine ziemliche Annaeherung an den richtigen Flaechenwerth darstellen duerften, nach dem man mit Ruecksicht auf die bei *Sesostris* bemerkte Eintheilung des Landes in Rechtecke voraussetzen darf, gerade diese oder eine ihr zunaechst kommende Form der Felder sei die auch damals schon beliebte gewesen. Doch kommen auch Vierecke vor, wo der Laengenunterschied der Gegenseiten ein bemerkenswerther ist; ja es werden auch Dreiecke als Vierecke mit einer verschwindenden Seite behandelt, so dass der begangene Fehler in manchen Faellen ein nicht unbedeutender ist. Nur nebenbei bemerken wir, dass man dieselbe unrichtige Flaechenformel fuer das Viereck erhaelt, wenn man dasselbe zunaechst durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt, auf jedes dieser Dreiecke die unrichtige Flaechenformel, die den Inhalt als das halbe Product der beiden Seiten liefert, anwendet, die beiden so erhaltenen Dreiecksflaechen addirt und dann aus dieser Summe und jener, welche man bei dem aehnlichen Vorgange durch Zerlegung mittelst der zweiten Diagonale erhaelt, das arithmetische Mittel construirt. Nimmt man mit *Eisenlohr* und *Cantor* an, dass die Aegypter die Dreiecksflaeche wirklich dem halben Producte zweier Seiten gleichsetzten, so steht man vor der Frage, warum nicht in derselben Art die Flaechen der in der *Edfu*er Schenkungsurkunde auftretenden Dreiecke bestimmt erscheinen? Uebrigens wolle man sich darueber nicht wundern, dass es ueberhaupt moeglich war, die Flaechenberechnungen im praktischen Leben nach einer so falschen Methode durchzufuehren. Wissen wir doch, dass im Alterthume, zur Zeit *Platon*s, einer der gebildetsten Maenner, einer der hervorragendsten Geschichtschreiber, dass *Thukydides*(43) in seiner Unkenntniss der Beziehung zwischen Flaecheninhalt und Umfang, die Flaeche einer Insel nach der zu ihrer Umschiffung nothwendigen Zeit zu bestimmen suchte; in der Geometrie *Gerbert*'s,(44) des nachmaligen Papstes *Silvester II.* finden wir, 1000 Jahre nach Chr. G., die Flaeche eines gleichschenkligen Dreieckes durch Multiplication des Schenkels mit der halben Basis berechnet, wo doch schon *Hero von ** Alexandrien*(45) 1100 Jahre frueher die richtige Formel fuer diese Berechnung kennt. Wir beruehren diese Thatsachen, und koennten noch eine ganze Reihe aehnlicher Beispiele anfuehren, nur um zu zeigen, wie uebereilt es waere, aus den oft nur schwache Annaeherungen liefernden Berechnungen der *Edfu*er Schenkungsurkunde schliessen zu wollen, die richtigen Methoden seien den in die Wissenschaften eingeweihten aegyptischen Priestern nicht bekannt gewesen. Doch zurueck zum Papyrus *Rhind*. Wir uebergehen die Inhaltsbestimmungen von Fruchthaeusern, bei denen der Inhalt durch Multiplication einer Flaeche mit einer Laenge bestimmt wird, weil wir es fuer muessig halten, Eroerterungen darueber anzustellen, welche Flaechen und Laengen hiebei gemeint sind, so lange uns ueber die Form jener Fruchthaeuser oder Speicher nichts bekannt ist. Dagegen erwecken die im Papyrus vorkommenden Pyramiden-Berechnungen das hoechste Interesse, besonders nach den glaenzenden Untersuchungen, welchen *Revillout* diesen Gegenstand unterzogen hat, und deren Resultate wir, entgegen der von *Eisenlohr* ausgesprochenen und auch von *Lepsius*(46) acceptirten Ansicht als solche betrachten, welche in einfacher und natuerlicher Weise die sogenannte *Seket*-Rechnung der alten Aegypter beleuchten. Es wird in diesen Rechnungen die Boeschung der Seitenflaechen einer quadratischen Pyramide dadurch fixirt, dass jener Theil der Laenge eines der beiden gleichlangen Schenkel des Winkelmaasses berechnet wird, der sich zur Laenge des anderen Schenkels so verhaelt, wie die halbe Laenge der Basisseite der quadratischen Pyramide zur Hoehe derselben. Zu dem Behufe war der eine der beiden Schenkel des Winkelmaasses in eine gewisse Anzahl gleich grosser Theile getheilt, waehrend der andere Schenkel, der Pyramidenhoehe entsprechend, und als Einheit betrachtet, ungetheilt blieb. Um nun den sogenannten *Seket* zu bestimmen, wurde die halbe Laenge der Basisseite durch die Pyramidenhoehe dividirt und mit dem erhaltenen Quotienten die Anzahl der Theile des horizontalen, getheilten Schenkels des Winkelmaasses multiplicirt. Es war somit der Seket (welcher in derselben Art fuer einen geraden Kreiskegel aus dem Durchmesser der Basis und der Hoehe bestimmt erscheint) als Verhaeltniss aufgefasst, die goniometrische Cotangente des Neigungswinkels der Seitenflaeche der Pyramide, respective der Kegelkante zur Basis. Wenn wir selbstverstaendlich weit davon entfernt sind, hierin vielleicht Anfaenge der Trigonometrie sehen zu wollen, so erkennen wir doch anderseits, dass den alten Aegyptern auch die Lehre proportionaler Linien, wenigstens in ihren Anwendungen, bekannt gewesen sein musste, und erscheint uns auch der am Eingange erwaehnte Ausspruch ueber die dem Milesier *Thales* zugeschriebene Hoehenmessung der Pyramiden als ein ganz glaubwuerdiger, wenn wir sehen, wie im Papyrus von den drei Werthen: Basis, Hoehe, Seket, jeder aus den beiden anderen berechnet erscheint. Fassen wir nun die Ergebnisse unserer Betrachtungen zusammen, so muessen wir aus der quellenmaessig erwiesenen grossen Bewunderung, welche die ausgesprochen geometrisch hochentwickelten Griechen den aegyptischen Geometern rueckhaltlos zollten, wir muessen aus der unanfechtbaren Thatsache, dass griechische Geometer den Grund zu ihren Kenntnissen und Entdeckungen in Aegypten suchten und fanden, wir muessen im Hinblicke auf das, aus der nun vollends entzifferten[42] *Edfu*er Schenkungsurkunde sich mit Sicherheit ergebende ausgebreitete und fest organisirte Katasterwesen der alten Aegypter, welches zugleich mit den zahlreichen, dem oeffentlichen Leben dienenden Land- und Wasserbauten auf eine verhaeltnissmaessig bedeutend entwickelte Vermessungskunde hinweist, wir muessen endlich aus dem von uns besprochenen Papyrus, der sich als eine ungenaue Abschrift eines mangelhaften, aus dem dritten Jahrtausend vor Chr. G. stammenden, mathematischen Collegien- oder Aufgabenheftes erweist, und aus dessen Vorhandensein sich fast mit Gewissheit auf damals existirende, neben den Regeln auch ihre Ableitungen enthaltende Lehrbuecher schliessen laesst, wir koennen und muessen aus allen diesen Umstaenden den allgemeinen Schluss ziehen, dass bereits drei Jahrtausende vor unserer Zeitrechnung sowohl die arithmetischen, als auch die geometrischen Kenntnisse der Aegypter, einen fuer dieses Zeitalter bedeutenden Grad der Entwicklung besassen. Insbesondere koennen wir in jenen fernen Zeiten eine staunenswerth weitgehende Annaeherung bei der Berechnung der Kreisflaeche beobachten, wir finden mit vollstaendiger Sicherheit richtige Flaechenbestimmungen des Quadrates, Rechteckes und des rechtwinkligen Dreieckes; hoechst wahrscheinlich auch richtige Bestimmungen der Flaechen schiefwinkliger Dreiecke und Vierecke, welche im praktischen Leben durch leichter zu handhabende Annaeherungsformeln ersetzt wurden; wir sehen Bestimmungen des Rauminhaltes durch ihre Dimensionen gegebener Koerper und erkennen die Anfaenge der Aehnlichkeitslehre. Was das geometrische Zeichnen betrifft, so kennen wir schon die Construction der frueher beobachteten regelmaessigen Figuren und duerfen weiter vermuthen, dass die Anlegung rechter Winkel und das Faellen von Senkrechten sowohl mittelst des Winkelmaasses als auch mittelst rationaler rechtwinkliger Dreiecke bekannt, und die Zerlegung gegebener Flaechen behufs ihrer Inhaltbestimmung in allgemeiner Verwendung war. Gewiss werden auch theoretische Resultate bekannt gewesen sein; so die Haelftung des Kreises durch seinen Durchmesser, die sich aus der besprochenen Seketrechnung von selbst ergebende Winkelgleichheit an der Basis gleichschenkliger Dreiecke und gleichseitiger quadratischer Pyramiden, und wohl noch manches Andere. Moege es gelingen, durch Auffindung neuer, sowie durch Entzifferung der, noch ihrer Erklaerung harrenden Denkmale und Schriften, von welchen letzteren, Dank der hohen Munificenz des Erlauchten Curators unserer Akademie, auch Wien eine imposante Zahl aufweisen kann, moege es so gelingen noch weitere Anhaltspunkte fuer die Kenntniss der mathematischen Thaetigkeit des uns bekannten aeltesten Culturvolkes, der Aegypter zu gewinnen! Diesen unseren Wunsch theilen gewiss Alle, denen die Erforschung der Culturgeschichte des menschlichen Geschlechtes nicht ohne Wichtigkeit erscheint! 1 HERODOT, _Reisebericht_, II, 109. 2 ISOKRATES, _Busiris_, c. 9. _ 3 Platonis__ Phaedrus_, ed. Ast. I. p. 246. 4 ARISTOTELES, _Metaph. I_, 1. 5 DIODOR, I, 69. 6 Herodot l. c. _ 7 Heronis Alexandr.__ geom. et stereom. reliquiae_, ed. Hultsch. p. 138. 8 DIODOR, I, 81. 9 STRABON, ed. Meinike, lib. XVII, C. 787, p. 1098. _ 10 Eudemi Rhodii__ Peripatetici fragmenta quae supersunt_. ed. L. Spengel. Berlin 1870. _ 11 Procl.__ comment._ ed. Rasil. p. 19; _Barocius_ p. 37. 12 ISOKRATES, _Busiris_, cap. 11. 13 STRABON, XIV, 1. 16. 14 PORPHYRIUS, _De vita Pythagorae_ cap. 7; DIOGENES LAERTIUS, VIII, 3. 15 DIODOR, I, c. 96. 16 PROKLOS, ed. Friedlein, 250, 299, 352, 157. 17 DIOGENES LAERTIUS, I, 27. PLINIUS, _Hist. nat._ XXXVI, 12, 17. 18 PLUTARCH, ed. Didot. Vol. 2, III, p. 174. 19 DIOGENES LAERTIUS I, 24--25. 20 MONTUCLA, _Hist. d. math._ 2. edit. t. I, p. 49. 21 BRETSCHNEIDER, _Die Geometrie und die Geometer vor Euklides_, p. 11. Dem Werke Bretschneiders, sowie jenem CANTOR's: _Vorlesungen ueber Geschichte der Mathematik_, sind die grundlegenden Gedanken entnommen. 22 CLEMENS ALEXANDRINUS, _Stromata_, ed. Potter, I, 357. 23 THEON SMYRNAIOS, _lib. de astron._ ed. Martin, p. 272. 24 PRISSE D'AVENNES, _Hist. de l'art Egypt. d'apres les monuments._ 25 WILKINSON, _Manners and customs of the ancient Egyptians_, III, p. 313. 26 CICERO, _De finibus bonorum ed malorum_ I, 6, 20. 27 DIOGENES LAERTIUS IX, 47. 28 CANTOR, _Vorlesungen ueber Geschichte der Mathematik_, I, p. 144--159 (Leipzig 1880). 29 EISENLOHR, _Ein math. Handbuch der alten Aegypter_. Leipzig 1877. 30 BIRCH, in Lepsius' _Zeitschrift fuer aegypt. Sprache und Alterthum_, 1868, p. 108. 31 LEPSIUS, _aegypt. Zeitschrift_, 1871, p. 63. 32 REVILLOUT, EUGENE, _Revue Egyptologique_, 1881, Nr. II et III, p. 304. 33 EISENLOHR, _Ein math. Handbuch der alten Aegypter_. Nr. 64. 34 ibid. Nr. 79. 35 ibid. p. 125. 36 CANTOR, _Vorlesungen aus der Geschichte der Mathematik_, I, p. 49. 37 WILKINSON, _Manners and customs u. s. w._ III., p. 144. 38 BRUGSCH, _Ueber Bau und Maasse des Tempels von __Edfu_ (_Zeitschrift fuer aegypt. Sprache u. Alterth._ Bd. VIII.) 39 CANTOR, _Vorlesungen u. s. w._ I, p. 55. 40 ED. BIOT, _Journal Asiatique_, Paris 1841, I. Sem. p. 593. 41 LEPSIUS, _Ueber eine hieroglyphische Inschrift am Tempel von __Edfu_. _Abhandlung d. Acad. d. Wiss. in Berlin_, 1855, p. 69. 42 BRUGSCH, _Thesaurus III_, Leipzig 1884. 43 THUKYDIDES, ed. Rothe, VI. 1. 44 ed. Olleris, Cap. LXX. p. 460. _ 45 Heronis Alexandrini__ geometricorum et stereometricorum reliquiae_ (ed. Hultsch, Berlin 1864). 46 LEPSIUS, _Ueber die 6palmige grosse Elle von 7 kleinen Palmen Laenge in dem "math. Handbuche" von Eisenlohr_. (_Zeitschrift f. aeg. Sp._ 1884. 1. Heft.) ***END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER DIE GEOMETRIE DER ALTEN AEGYPTER.*** CREDITS March 13, 2008 Project Gutenberg TEI edition 01 * R. Stephan* A WORD FROM PROJECT GUTENBERG This file should be named 24817.txt or 24817.zip. 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To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4 and the Foundation web page at http://www.pglaf.org. Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit 501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification number is 64-6221541. Its 501(c)(3) letter is posted at http://www.gutenberg.org/fundraising/pglaf. Contributions to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent permitted by U.S. federal laws and your state's laws. The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S. Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered throughout numerous locations. Its business office is located at 809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact information can be found at the Foundation's web site and official page at http://www.pglaf.org For additional contact information: Dr. Gregory B. Newby Chief Executive and Director gbnewby@pglaf.org Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} depends upon and cannot survive without wide spread public support and donations to carry out its mission of increasing the number of public domain and licensed works that can be freely distributed in machine readable form accessible by the widest array of equipment including outdated equipment. Many small donations ($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt status with the IRS. 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